Tercer Encuentro de la Red de Polinomios Ortogonales
y Teoría de Aproximación (Orthonet 2016)

Las sucesiones de polinomios ortogonales clásicos (Hermite, Jacobi, Laguerre y Bessel) se definen en términos de preservación de la ortogonalidad estándar (caracterizada por una relación de recurrencia a tres términos) para la sucesión de sus derivadas (caracterización debida a W. Hahn). En esta presentación analizaremos familias de polinomios en el marco de modelos de ortogonalidad no estándar (sobre el círculo unidad, múltiple, matricial, respectivamente) que satisfacen la propiedad de Hahn respecto a diversos operadores lineales en el espacio de los polinomios que reducen en una unidad el grado (lower operators) así como caracterizaciones de dichas familias siguiendo las pautas del caso estándar.

Exceptional orthogonal polynomials came as a little surprise to the special functions community, triggering a considerable amount of activity in the last years. Like classical polynomials, exceptional polynomials form complete sets of polynomial eigenfunctions of a Sturm–Liouville problem, but unlike them, the coefficients of the differential equation are rational functions instead of polynomials. To circumvent the limitations of Bochner's classification theorem, exceptional polynomials have a finite number of missing degrees in their degree sequence.

In this talk we will review the most important results achieved over the last years: their construction through Darboux transformations and Wronskian representation, a recent proof of a conjecture on their classification, some properties of their zeros, recurrence formulas and bispectrality, etc. Among the open problems, we shall discuss their connection to rational solutions of nonlinear integrable equations of Painlevé type, and their possible applications in numerical methods or approximation theory.

La cuadratura gaussiana fue propuesta en Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi (1815). Gauss llega a determinar los nodos y pesos de la reglas de máximo grado de exactitud por un camino muy distinto del que hoy solemos emplear. En la charla glosaré el trabajo de Gauss, que usa fracciones continuas, la serie hipergeométrica, funciones generatrices y otras varias técnicas del análisis clásico.

Motivated by an open problem proposed by M. E. H. Ismail in his monograph «Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable» (Cambridge University Press, 2005), we present an extension of Markov's theorem on monotonicity of zeros. The proof is based only in very elementary facts.

En esta charla caracterizaremos la existencia de fórmulas de cuadratura con nodos prefijados exactas en un máximo subespacio de Laurent. Recuperaremos importantes propiedades análogas a la situación del eje real.

A class of exactly solvable matrix models related to families of generalized Laguerre and Jacobi polynomials is considered. The asymptotic properties of the Barnes G function are used to show the existence of nonperturbative contributions to the asymptotic expansions of the free energy of these matrix models for large matrix dimension. The nonperturbative contributions become oscillatory and preclude the existence of the planar free energy in certain regions of the 't Hooft parameter. We discuss a certain modification of the 't Hooft limit that provides to a well-defined planar limit, and interpret the results in terms of large-n instantons, which describe the corrections to the free energy as the result of migrations of eigenvalues among the different cuts of the eigenvalue support.