Dinámica no lineal y aplicaciones

Objetivos:

Aprender los rudimentos teóricos del estudio cualitativo de sistemas de ecuaciones diferenciales. Saber calcular puntos críticos y su comportamiento asintótico. Conocer métodos numéricos de obtención de órbitas periódicas. Estudiar el concepto de bifurcación de puntos de equilibrio y de órbitas periódicas y conocer las más importantes. Introducir el concepto de sistema caótico. Introducir el uso de diversas técnicas de sistemas dinámicos en problemas de interés en campos como Astrodinámica, Química o Neurociencia.

Contenidos:

1. Introducción a los sistemas dinámicos.
   1. Definiciones y ejemplos. Aplicaciones.
   2. Existencia y unicidad de solución.
2. Sistemas lineales.
   1. Sistemas homogéneos.
   2. Sistemas no homogéneos.
   3. Comportamiento asintótico y estabilidad.
3. Ecuaciones autónomas, puntos críticos y órbitas periódicas.
   1. Espacios de fase y órbitas.
   2. Puntos críticos, órbitas periódicas.
   3. Variedades invariantes, linealización e hiperbolicidad.
4. Estabilidad
   1. Ejemplos.
   2.  Estabilidad de las soluciones de equilibrio y de las soluciones periódicas.
   3. Modelos y aplicaciones (problema de dos cuerpos, modelos en Astrodinámica,…). 
5. Introducción a la teoría de perturbaciones.
   1. Ejemplos.
   2. El método de los promedios.
   3. Cálculo de soluciones periódicas.
   4. Modelos y aplicaciones (modelos en Química,...).
6. Introducción a la teoría de bifurcaciones.
   1. Ejemplos.
   2. Cálculo numérico de soluciones periódicas.
   3. Bifurcaciones de puntos de equilibrio y órbitas periódicas.
   4. Modelos y aplicaciones (modelos en Biomatemáticas,...).
7. Introducción a la teoría del caos.
   1. Ejemplos.
   2. Herradura de Smale y teoría del caos.
   3. Bifurcaciones globales.
   4. Estudio numérico de sistemas caóticos.
   5. Modelos y aplicaciones (modelos en Neurociencia,…).

Metodología:

Clases magistrales, prácticas, debates y exposición de trabajos.

Criterios de evaluación:

La asignatura se calificará mediante la realización de trabajos y problemas de diversos contenidos de la asignatura.

Bibliografía: 

• F. Verhulst:  Nonlinear differential equations and dynamical systems. Ed. Springer-Verlag, 2000.
• P. Glendinning: Stability, instability and chaos. Cambridge University Press, 1994.
• F. Diacu: An introduction to differential equations-Order and chaos, W.H. Freeman, 2000.
• Y. A. Kuznetsov: Elements of applied bifurcation theory. Third edition. Applied Mathematical Sciences, 112. Springer-Verlag, 2004.
• E. Ott: Chaos in dynamical systems. Second edition. Cambridge University Press, 2002.

Profesores del curso 2023-2024

Ana Isabel Pascual (aipasc at  unirioja.es) (Coordinador)
Jesús Palacián Subiela (palacian at  unavarra.es) 
Sergio Serrano (sserrano at unizar.es)