Grupos y representaciones
Descripción y contextualización de la asignatura
La asignatura presenta los conceptos y una serie de teoremas fundamentales de la teoría de grupos (el teorema de Cayley, grupos finitos abelianos, teoremas de Sylow, grupos nilpotentes, grupos resolubles, etc), con énfasis en la motivación de los mismos y en su ilustración con ejemplos diversos. Se presentan también los conceptos principales sobre representaciones de grupos sobre espacios vectoriales que, de forma natural, conducen a las nociones de álgebra, módulos sobre álgebras y representaciones de álgebras. Este punto de vista es interesante porque entronca directamente con el álgebra lineal, donde el objetivo es entender el comportamiento de varias transformaciones lineales a la vez. Se hará también una aproximación a la teoría de la representación a través de caracteres, que es fundamental para las aplicaciones a la teoría de grupos.
Competencias de la asignatura
Competencias específicas de la asignatura:
9990-Conocer los ejemplos de grupos fundamentales.
9991-Conocer las construcciones básicas de la teoría de grupos.
9992-Poseer una base sólida en teoría de grupos y una abundante colección de ejemplos.
9993-Conocer los conceptos fundamentales de la teoría de la representación de grupos y de álgebras de Lie.
9994-Conocer las aplicaciones de la teoría de caracteres en la teoría de grupos.
9995-Estar en condiciones de comprender las demostraciones de cualquier resultado en los campos de la teoría de grupos y de la representación.
9996-Poder desarrollar por sí mismo y de forma progresiva resultados y aplicaciones nuevas en el ámbito de la teoría de grupos y de la representación.
Competencias básicas y generales: CB6, CB7, CB8, CB10
Competencias transversales: CT1863, CT1854, CT1872
Competencias específicas de la titulación: CE1840, CE1856
Resultados de aprendizaje de la asignatura
Entender bien los conceptos básicos de la Teoría de Grupos y trabajar con ellos en abundantes ejemplos concretos: grupos de clases de restos y sus unidades, grupos simétricos, grupos de matrices, productos directos de todos ellos, productos semidirectos, etc.
Manejar bien las construcciones básicas de la Teoría de Grupos.
Saber trabajar fluidamente con clases de grupos importantes y conocer sus propiedades y características fundamentales.
Entender bien los conceptos básicos de la Teoría de la Representación lineal de grupos finitos.
Manejar con soltura los resultados sobre representaciones lineales de grupos finitos, que puedan aplicarse para obtener propiedades o demostrar teoremas sobre los grupos mismos.
Familiarizarse con algunas aplicaciones a la Teoría de Grupos vía el estudio de caracteres, aplicaciones que verdaderamente dan sentido a la Teoría de la Representación.
Contenidos teórico-prácticos
Bloque 1: Grupos. Fundamentos; Grupos cocientes. Homomorfismos; Productos directos y semidirectos; Permutaciones; Acciones de un grupo sobre un conjunto; Los Teoremas de Sylow; Grupos nilpotentes y Grupos resolubles.
Bloque 2: Representaciones, álgebras y módulos; Algebras semisimples; Caracteres de un grupo; Caracteres inducidos y Teoría de Clifford.
Metodología
El contenido teórico de la asignatura se expondrá en clases magistrales, siguiendo referencias básicas que figuran en la Bibliografía y notas de los profesores. En dichas clases magistrales los profesores explicarán la teoría correspondiente a cada tema.
En algunas clases magistrales los alumnos tendrán que exponer en la pizarra, de manera rotatoria, previo aviso y preparación, parte de la teoría correspondiente al curso.
Los alumnos podrán hacer uso de tutorías personales para aclarar dudas que les puedan surgir sobre la teoría explicada en las clases magistrales.
Debido a que la resolución de problemas pone a prueba de verdad la compresión de los conceptos teóricos, se propondrán a los estudiantes trabajos individuales sobre teoría y problemas, para cuya realización podrán disponer del apoyo del profesor mediante tutorías personales, solamente en el caso de dudas concretas.
Sistemas de evaluación:
Se consideran los siguientes tipos evaluación:
SISTEMA DE EVALUACIÓN CONTINUA
- SISTEMA DE EVALUACIÓN FINAL
Convocatoria ordinaria: orientaciones y renuncia
SISTEMA DE EVALUACIÓN CONTINUA: trabajos individuales 100%
SISTEMA DE EVALUACIÓN FINAL: examen escrito, oral o trabajos individuales 100%
Convocatoria ordinaria: orientaciones y renuncia
CRITERIOS DE LA EVALUACIÓN CONTINUA:
Se propondrá la resolución de una serie de tareas que demuestren la adquisición de las competencias correspondientes por parte de los estudiantes.
De entre las tareas habrá algunas de realización obligatoria (de las que dependerá el 60% de la evaluación de la asignatura) y otras de realización voluntaria (con un peso del 40% en la evaluación final de la asignatura).
Para aprobar la asignatura será necesario alcanzar una nota de 5 sobre 10 en el trabajo global individual.
La fecha límite para la entrega de estas tareas será la establecida por la Comisión Académica del Máster. Además, en caso de que se considere necesario, se realizará una sesión final presencial o telemática para discutir por parte del alumno la resolución de las tareas propuestas.
Se tendrá muy en cuenta que la comunicación tanto oral como escrita de los argumentos matemáticos presentados en los trabajos sea la adecuada, y en ella se utilice un lenguaje matemático fluido acorde al nivel de formación del alumno.
CRITERIOS DE LA EVALUACIÓN FINAL
Los estudiantes que lo soliciten, podrán someterse a una evaluación final, que podrá consistir en una prueba única (cuya fecha se acordará con el alumno) o en un conjunto de pruebas y trabajos, cuya fecha límite de entrega será la misma que para la evaluación continua.
Los estudiantes deberán solicitar la evaluación diferenciada mediante escrito razonado dirigido al Coordinador del Máster, desde el momento de la matrícula hasta transcurridos, como máximo, cinco días desde el inicio del curso. La solicitud se acompañará de todos los documentos que acrediten la imposibilidad de seguir con normalidad el desarrollo del curso. La Comisión Académica del Máster, resolverá en el plazo máximo de veinte días.
RENUNCIA:
El alumno que haya realizado las actividades a lo largo del curso, pero no se presente a la convocatoria ordinaria, será calificado como No presentado/a.
Convocatoria extraordinaria: orientaciones
Los criterios de evaluación serán los mismos que en la convocatoria ordinaria.
La evaluación de las actividades realizadas a lo largo del curso será válida para las dos convocatorias del curso. En el caso del alumno que no haya superado la evaluación de dichas actividades o haya elegido la modalidad de evaluación final, en la convocatoria extraordinaria deberá realizar, también, una prueba complementaria diseñada para la evaluación de las actividades realizadas a lo largo del curso. Dicha prueba puede consistir en una exposición oral (cuya fecha de realización se concretará con el alumno) o en una descripción escrita de los conocimientos prácticos abordados a lo largo del curso. En este caso, la fecha límite para la entrega de los trabajos o tareas solicitadas será la establecida por la Comisión Académica del Máster. Además, al igual que en la evaluación continua, en caso de que se considere necesario, se realizará una sesión final presencial o telemática para discutir por parte del alumno la resolución de las tareas propuestas.
Bibliografía de profundización
[AB] J. L. Alperin; R. B. Bell. Groups and Representations, Springer, New York, 1995.
[Co] M. J. Collins. Representations and characters of finite groups, Cambridge University Press, Cambridge, 1990.
[CR] C. W. Curtis; I. Reiner. Methods of Representation Theory, Vol I, John Wiley & Sons, New York, 1990.
[Gr] L. C. Grove. Groups and characters, John Wiley & Sons, New York, 1997.
[Hum] J. F. Humphreys. A Course in Group Theory, Oxford University Press, Oxford, 1996.
[Hu] B. Huppert. Character Theory of Finite Groups, Walter de Gruyter, Berlin, 1998.
[Is] I. M. Isaacs. Character Theory of Finite Groups, Dover Publications, New York, 1994.
[Is08] I. M. Isaacs. Finite Group Theory, American Mathematical Society, Providence, 2008.
[Le] W. Ledermann. Introduction to group characters, 2a ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1987.
[NT] H. Nagao; Y. Tsushima. Representations of finite groups, Academic Press, San Diego, 1989.
[Ro] D. J. S. Robinson. A Course in the Theory of Groups, Springer, New York, 1996.
[Ros] J. S. Rose. A Course on Group Theory, Dover, New York, 1994
[Rot] J. J. Rotman. An Introduction to the Theory of Groups, 4a ed., Springer, New York, 1995
Revistas
- Data Base Newsletter. Ed. ITBusinessEdge. http://www.databasejournal.com/
- Database and network journal. Ed. A. P. Publications Ltd.
- http://dl.acm.org/citation.cfm?id=J239
- ACM Transactions on Database Systems. Ed. ACM. TODS. http://tods.acm.org/
Direcciones de internet de interés
https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-703-modern-algebra-spring-2013/lecture-notes/
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf
https://www2.bc.edu/mark-reeder/Groups.pdf
http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/docums/barrera-grupos.pdf
https://people.math.ethz.ch/~wilthoma/docs/grep.pdf
https://math.berkeley.edu/~teleman/math/RepThry.pdf
Profesores del curso 2023-2024:
Leire Legarreta Solagure (leire.legarreta at ehu.es) (Coordinadora)
Alejandro Piñera Nicolás (apnicolas at uniovi.es)